Questão 39

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Determine o valor de

$cos left ( 2 arctg (frac{4}{3}) ight )+sen left ( 2 arctg (frac{4}{3}) ight )$

$frac{17}{25}$

$frac{4}{5}$

$frac{24}{25}$

$frac{28}{25}$

$frac{31}{25}$

Gabarito:

$frac{17}{25}$

Resolução:

Realizando o seguinte:

$x = arctg (frac{4}{3}), com frac{- pi}{2} < x < frac{pi}{2}$

Com isso tangente de x = 4/3

No intervalo da definição de x, vamos pensar no seguinte triângulo:

Veja que de acordo com o triângulo acima, temos:

$sen x = frac{4}{5}$ e $cos x = frac{3}{5}$

$\ sen^{2} x + cos^{2}x = 1 \ \ frac{16}{9} . cos^{2}x + cos^{2}x = 1 \ \ 25.cos^{2}x = 9 \ \ cos^{2 } x = frac{9}{25}$

Então:

$cos left ( 2 arctg (frac{4}{3}) ight )+sen left ( 2 arctg (frac{4}{3}) ight )$

$\ cos(2x) + sen(2x) = 2 cos^{2}x -1 +2senx . cos x = \ \ 2 cos^{2}x -1 + 2frac{4}{3 } cos ^{2}x = \ \ = 2. frac{9}{25} - 1 + frac{8}{3} . frac{9}{25} \ \ = frac{17}{25}$

Gabarito: A

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