Questão 42

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

O valor de $k epsilon mathbb{R}$ de modo que as raízes do polinômio $p(x) = x^{3} + 3x^{2} -6x +k$ estejam em progressão geométrica é:

-18.

-16.

-8.

-2.

-1.

Gabarito:

-8.

Resolução:

Temos que o conjunto solução pode ser dado pelo seguinte :

${frac{a}{q}; a; a.q}$

Então: $p(x) = x^{3} + 3x^{2} -6x +k$

$frac{a}{q} + a + aq = -3 \ \ a (frac{1}{q} + 1 + q ) = -3$

$\ frac{a^{2}}{q} + a^{2} + a^{2}q = -6 \ \ a^{2} (frac{1}{q} + 1 + q ) = -6$

$\ frac{a}{q} . a . aq = -k \ \ a^{3} = -k$

Vamos pegar a equação 2 e dividir pela equação 1, com isso, temos o seguinte:

$frac{a^{2} (frac{1}{q} + 1 + q ) = -6}{ a (frac{1}{q} + 1 + q ) = -3}$

$a = 2$

Agora pegando esse resultado de a, vamos inserir na equação 3, a fim de encontrar o valor de k

$\ a^{3} = -k \ \ 2^{3} = -k \ \ k = - 8$

Gabarito: C

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