Questão 47

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Considere o triângulo de vértices $A = (0; 0)$ , $B = (sqrt{2}; sqrt{3})$ e $B = (frac{5}{2}sqrt{2};0)$ .

A equação da reta que passa por B e é perpendicular à bissetriz do ângulo $Ahat{B}C$ é:

A

$y= (5-2sqrt{6})x+5sqrt{3}-sqrt{2}.$

B

$y= (5+2sqrt{6})x-3sqrt{3}-5sqrt{2}.$

C

$y= (5-sqrt{6})x-3sqrt{3}-5sqrt{2}.$

D

$y=- (5+2sqrt{6})x+5sqrt{3}+5sqrt{2}.$

E

$y=(-5+2sqrt{6})x-3sqrt{3}+5sqrt{2}.$

Gabarito:

$y= (5-2sqrt{6})x+5sqrt{3}-sqrt{2}.$

Resolução:

Primeiro, vamos realizar a figura:

Veja que a bissetriz externa tem coeficiente angular positivo.

$m_{AB} = frac{sqrt{3}}{sqrt{2}}$

$ar{AB} : sqrt{3}x - sqrt{2}y = 0$

Agora iremos encontrar a reta BC:

$\ ar{BC} = egin{vmatrix} x & y &1 \ sqrt{2} &sqrt{3} &1 \ frac{5sqrt{2}}{2} & 0 & 1 end{vmatrix} = sqrt{3}x + frac{3 sqrt{2}}{2}y - frac{5sqrt{6}}{2} = 0 \ \ sqrt {2}x + sqrt{3 }y - 5 = 0$

Agora veja que a bissetrizes $Aar{B}C$ :

$frac{| sqrt{3}x -sqrt{2}y|}{sqrt{3+2}} = frac{| sqrt{2}x - sqrt{3}y - 5|}{sqrt{2+3}}$

I)

$sqrt{3}x - sqrt{2}y = sqrt{2}x + sqrt{3}y - 5$

$(sqrt{3} - sqrt{2}) x - (sqrt{3} + sqrt{2}) y + 5 = 0$

Veja que:

$m = frac{sqrt{3} - sqrt{2}}{sqrt{3} + sqrt{2}} > 0$

II)

$sqrt{3}x - sqrt{2}y =- sqrt{2}x - sqrt{3}y + 5$

$(sqrt{3} + sqrt{2}) x - (sqrt{3} + sqrt{2}) y - 5 = 0$

$M = frac{sqrt{3} + sqrt{2}}{ sqrt{2}- sqrt{3}} < 0$

Portanto, veja que a bissetriz externa foi mostrada acima no item I, e sua equação reduzida é:

$y = (5-2sqrt{6}) x + 5sqrt{3} -5 sqrt{2}$

Gabarito: A

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