Questão 1

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Sejam (a_n) uma progressão aritmética e (b_n) uma progressão geométrica. Se a razão de (a_n) é r, $r eq 0$ , a razão de (b_n) é $q= 1/r$ , $a_1 = b_1 = 4$ e

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}= frac{50}{3},$

determine n de modo que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica seja igual a -80.

Gabarito:

Resolução:

$\ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = frac{50}{3} \ \ a_1 + (a_1 + r ) + (a_1 + 2r ) + (a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) = frac{50}{3} \ \ 5 a_1 + r (1 +2 + 3+4) = frac{50}{3} \ a_1 + 2r = frac{10}{3} \ \ 2r = frac{10}{3} - 4$

$r = frac{-1}{3}$

$q = -3$

Assim:

$b_1 + b_2 + ... + b_{n} = -80$

$\ b1(1+ q + ...+ q^{n-1} ) = -80 \ \ frac{q^{n}-1}{q-1} = frac{-80}{b_1} = frac{-80}{4} = -20$

$\ frac{(-3)^{n}-1}{(-3)-1} = -20 \ \ n = 4$

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