Questão 3

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Determine todos os valores reais de x para os quais

$|log_{1/2}|x|+|log_{2}|x|| <4$ .

Gabarito:

Resolução:

1) Devemos analisar as condições de existência:

$|x | > 0 Rightarrow x otequiv 0$

2) Temos que: $log _{frac{1}{2}} |x| = - log_{2} |x|$ , portanto:

$|- log_{2} x| + |log_{2} x| < 4$

$|log_{2} |x|| < 2$

$-2 < log_{2} |x| < 2$

$log_{2} |x| < 2 \ \ | x | < 4 \ \ -4 < x < 4 (I)$

$log_{2} |x| > - 2 \ \ | x | > frac{1}{4} \ x > frac{1}{4} ou x < -frac{1}{4} (II)$

Veja que x deve comprir as condições de existência (I e II)

Portanto,

$x varepsilon (-4, - frac{1}{4}) cup (frac{1}{4}, 4)$

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