Questão 4

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Dada uma matriz $A epsilon M_{n} (mathbb{R})$ simétrica, dizemos que A é definida positiva se

$X^{T} AX= [y], y>0,$

para toda $X epsilon M_{n,1} (mathbb{R})$ que tem ao menos uma entrada não-nula. Encontre todos os possíveis valores de $b epsilon mathbb{R}$ tais que a matriz

$A= egin{pmatrix} 1 &b \ b & 1 end{pmatrix}$

seja definida positiva.

Gabarito:

Resolução:

$x = inom{x}{y}$ , então:

$egin{pmatrix} x & y end{pmatrix} . egin{pmatrix} 1 & b \ b & 1 end{pmatrix} . egin{pmatrix} x\ y end{pmatrix} = (x + yb + xb + y ) . inom{x}{y}$

Veja que:

$X^{T} . A . X = [x^{2} + y^{2} + 2xyb]$

Agora vamos analisar quando o termo na direita forma maior que 0 par ( x, y) diferente de (0,0)

Quando x, y não são ambos nulos , iremos ter y diferente de 0, portanto:

$(frac{x}{y})^{2} + 2 (frac{x}{y}) . b + 1 > 0$

Logo, queremos que a equação $f(z) = z^{2} + 2z . b + 1$ seja definida nos reais, temos que fazer o seguinte:

$Delta < 0 \ \ 4b^{2} - 4 < 0 \ \ b^{2} < 1$

Portanto, b pertecence ao (-1,1)

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