Questão 5

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Encontre as raízes do polinômio $p(x)= x^{4}-4x^{3}+9x^{2}-10x-14$ , sabendo que vale a relação $p(1 + x) = p(1 - x)$ , para todo $x epsilon mathbb{C}$ .

Gabarito:

Resolução:

Temos o polinômio: $p(x)= x^{4}-4x^{3}+9x^{2}-10x-14$

Podemos transformá-lo em:

$P(x) = (x^{2} -2x+7)(x^{2} -2x -2)$

Portanto:

1) $x^{2} - 2x + 7 = 0$

2) $x^{2} - 2x -2 = 0$

Iremos manipular primeiro a primeira equação, veja:

$x^{2} - 2x + 7 = 0$

$\ x^{2} - 2x + 1 = -6 \ \ (x-1) ^{2} = 6i^{2} \ \ x - 1 = pm i sqrt{6 } \ \ x = 1 pm i sqrt{6}$

2) Agora vamos manipular a segunda equação:

$x^{2} - 2x -2 = 0$

$\ x^{2} - 2x + 1 = 3 \ \ (x-1)^{2} = 3 \ \ x -1 = pm sqrt {3} \ \ x = 1 pm sqrt{3}$

Podemos afirmar que a solução é dada por:

$S = 1pm i sqrt{6}; 1pm sqrt 3$

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