Questão 7

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Determine a equação da circunferência de maior raio que é tangente ao eixo y e passa pelos pontos (1; 4) e (3; 6).

Gabarito:

Resolução:

Podemos primeiramente achar a reta que passa pelos pontos que está no enunciado:

$r: egin{vmatrix} x & y & 1\ 1 &4 & 1\ 3 &6 & 1 end{vmatrix}$

Temos que: r: x - y + 3 = 0

Se pegarmos uma reta que passa pelo centro da circunferência e a reta r, temos que elas serão perpendiculares, pois r é tangente a circunferência, portanto:

s: x + y - 7 = 0

Temos o seguinte:

Temos que:

Temos que 0 pertence a s
O(R,t) é centro da circunferência que tem o maior raio, mas não sabemos suas coordenadas, mas veja que OA = R, sendo R o raio da cincuferência maior.
0 percente à reta s, então R + t = 7

Além disso, veja que

OA = R

$(R-1)^{2} + (t-4)^{2} = R^{2} \ \$

Além disso, temos que t - 4 = 3 - R

Podemos substituir:

$\ R^{2} -2 R + 1 + R^2 - 6R + 9 = R^{2} \ \ R^{2} -8R + 10 = 0 \ \$

Veja que delta dessa função acima é igual a 24, portanto:

$\ R = 4 + sqrt{6 } \ \ t = 3 - sqrt{6}$

Portanto, a equação da circunferência é dada por:

$(x- 4 - sqrt{6})^{2} + (y-3+ sqrt{6})^{2} = (4+ sqrt{6})^{2}$

Temos a seguinte circunferência:

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