Questão 8

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Considere a parábola de equação $y = 4x - x^{2}$ com vértice no ponto V. Seja T o trapézio PABV , onde P = (0; 0), A é um ponto com abscissa no intervalo [2; 4] e ordenada nula e B é um ponto na parábola com ordenada positiva. Sabendo que $m(overline{AB}) =frac{7}{8}sqrt{5}$ , determine a área de T.

Gabarito:

Resolução:

O vétice da parábola é o ponto V (2,4) e temos ainda que:

$PV = 2sqrt{5}$

Vamos considerar o ponto (2,0) de Q e o ponto (xB, 0) de R

Temos que PABV é um trapézio e temos a equção da parábola, então:

AB // PV

Sobre o triângulo QPV, temos:

$sen(alpha) = frac{4}{2sqrt{5}} = frac{2}{sqrt{5}}$ e $cos(alpha) = frac{2}{2sqrt{5}} = frac{1}{sqrt{5}}$

Sobre o triângulo RAB, temos

AR = AB. cos (alpha) = $frac{7 sqrt{5}}{8} . (frac{1}{sqrt{5}}) = frac{7}{8}$

BR = AB . sen(alpha) = $frac{7 sqrt{5}}{8} . (frac{2}{sqrt{5}}) = frac{7}{4}$

Yb = BR = 7/4

Temos que B é um ponto da parábola, com isso:

$frac{7}{4} = y_{b} = 4. x_{b} -x_{b}^{2} \ \ x_{b} = frac{7}{2} ou x_{b} = frac{1}{2}$

Veja que o segundo não pode ser, pois olhando a localização de xa, temos que ele deve esta entre 2 e 4 e também pelo fato de AB ser paralelo com PV.

Temos que:

xb = 7/2 e AR = 7/8 , vem xa = 7/2 -7/8 =21/8

Agora veja que:

[PABV] = [PQV] + [VQRB] - [RAB]

$[PABV] = frac{1}{2} .(2) . (4) + frac{7/4 + 4}{2} . frac{3}{2} - frac{1}{2}. frac{7}{8}. frac{7}{4} = frac{256 + 276 -49}{64} = frac{483}{64}$

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