ITA 2018

Questão 33782

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Seja o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥⁴ − 8𝑥³ + 6𝑥² + 40𝑥 + 25 + 𝑘 que possui valor mínimo igual a −64, onde 𝑘 é uma constante real. Determine as raízes de 𝑞(𝑥).

Questão 33785

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Uma corda 𝐶𝐷 corta o diâmetro 𝐴𝐵 de um círculo de raio 𝑅 no ponto 𝐸. Sabendo que o ângulo  e que , calcule a medida do segmento .

Questão 33786

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

A reta r é normal à cônica 𝐶, de equação 9𝑥² − 4𝑦² = 36, no ponto  e intercepta o eixo das abscissas no ponto B. Sabendo que F é o foco da cônica 𝐶 mais próximo ao ponto A, determine a área do triângulo 𝐴𝐵𝐹.

Questão 33787

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Determine todas as soluções da equação

4 𝑠𝑒𝑛²(7𝑥) ∙ cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(9𝑥) + 8 𝑠𝑒𝑛²(𝑥) + 5 cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) = 4

no intervalo 

Questão 33788

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Um cubo com diagonal principal  é interceptado pelo plano , perpendicular à , formando uma seção hexagonal regular, Calcule, em função da aresta a do cubo:

a) o apótema dessa seção hexagonal;

b) o raio da esfera que é tangente a essa seção e às faces do cubo que contém o vértice A.

Questão 33793

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Um jogo de dominó possui 28 peças com duas pontas numeradas de zero a seis, independentemente, de modo que cada peça seja única, conforme ilustra a Figura 1.

O jogo se desenrola da seguinte forma:

1- Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada.

2- No início do jogo, cada jogador recebe um conjunto de 7 peças, de forma aleatória, de modo que somente o detentor das peças possa ver seu conteúdo.

3- As ações ocorrem por turnos no sentido anti-horário.

4- O jogador com a peça 6|6 coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na sua vez, executa uma de duas ações possíveis:

a. Adiciona uma de suas peças de forma adjacente a uma das duas extremidades livres do jogo na mesa, de modo que as peças sejam encaixadas com pontas de mesmo valor.

b. Passa a vez, caso não possua nenhuma peça com ponta igual a uma das extremidades livres da mesa.

5- Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peças na mão.

No jogo da Figura 2, é a sua vez de jogar e você constatou que o jogador à sua direita não possui peças com ponta 5 e o jogador à sua frente não possui peças com ponta 0. Você analisou todas as possíveis configurações de peças que os jogadores podem ter em suas mãos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa só possa ser usada por uma peça de sua posse, e que esta será a sua última peça em mão. Ao utilizar essa estratégia:

a) Quantas configurações de peças nas mãos dos jogadores garantem a vitória do jogo a você?

b) Esta quantidade corresponde a qual percentual do total de configurações possíveis?

Observação:

• A ordem das peças na mão de um jogador não importa.

Questão 33794

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Definimos a função f:  da seguinte forma: 

Determine f(f(2019)).

Observação : [k] é o maior inteiro menor ou igual a k

Questão 33797

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Dadas as funções definidas nos reais  :

.

Mostre que existe uma única solução    tal que:

seja uma função constante nula, onde 

Questão 33799

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Seja um número complexo tal que  possui argumento igual a e . Determine o número complexo .

Questão 33835

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Como mostra a figura, uma lente convergente, que está pendurada no teto por duas molas ideais de constante elástica k, é submetida a uma força vertical F para baixo. Determine:

a) para que valores de F a lente produz uma imagem real de uma figura colada no teto; e

b) o valor de F para o qual a imagem real tem o dobro do tamanho da figura colada no teto.

Dados:

• distância entre o centro óptico da lente e o teto para F = 0: d; e

• distância focal da lente: f = 3d